"-Это очень поэтишно, -

сказал он, и в его голубых

глазах промелькнул

веселый огонек. - 

Капитан Блад любит 

поэзию. Вы помниль 

яблок в цвету? Да? Ха-ха!".

:..Приведем еще один занятный пример аналогии, относящийся к обмену энергией двух одинаковых взаимодействующих тел. Как следует из законов сохранения энергии и импульса, в случае неупругого столкновения двух одинаковых по массе тел в тепловую энергию переходит ровно половина кинетической энергии системы. Совершенно аналогично при параллельном соединении двух одинаковых конденсаторов, один из которых заряжен, а другой - нет, тоже теряется половина энергии. Покажем, что это действительно так. Пусть тело массой m, движущееся со скоростью v, неупруго сталкивается с точно таким же покоящимся телом. Из закона сохранения импульса легко найти модуль скорости v', с которой будут двигаться оба "слипшиеся" тела:

.

:..Кинетическая энергия системы до столкновения

.

:..При этом ваши сталкивающиеся тела могут быть сделаны из чего угодно - из ваты, пластилина, оконной замазки и т. д., лишь бы они слипались при столкновении, - у вас будет переходить в тепло ровно половина энергии. Так устроен мир. А сейчас возьмем конденсатор емкостью С и зарядом q и подсоединим к нему параллельно точно такой же, но незаряженный. Энергия системы конденсаторов до соединения выглядела так:

:..А после соединения:

ибо заряд q - сохраняется. Новая емкость С' :

C' = 2C

:..Таким образом, энергия системы конденсаторов после соединения

:..И опять потеряна ровно половина энергии, вне зависимости от типа и емкости конденсатора! Кстати, а куда именно она подевалась? Подумайте над этим самостоятельно.

Размышляя над Изумрудной Скрижалью, я натолкнулся как-то на еще одну интересную аналогию. Изучающие теоретическую механику хорошо знакомы с практически бессмертным "Сборником задач по теоретической механике" И. В. Мещерского, изданным впервые в 1914 году. Многие поколения студентов постигали премудрости теормеха по страницам этого задачника. Среди многих интересных задач у Мещерского есть и такая: Три абсолютно упругих шара с массами m₁, m₂, m₃ лежат в гладком желобе на некотором расстоянии друг от друга. Первый шар, пущенный с некоторой начальной скоростью, ударяет во второй покоящийся шар, который, начав двигаться, в свою очередь ударяет в третий покоящийся шар. При какой величине массы второго шара m₂ третий шар получит наибольшую скорость? Решим эту задачу, пользуясь законами сохранения энергии и импульса. Для первого удара будем иметь:

где v₁' и v₂' - скорости первого и второго шаров после столкновения. Решая систему уравнений относительно неизвестных v₁' и v₂' найдем:

:..Столкновение второго шара с третьим ничем не отличается от столкновения первого со вторым, поэтому, заменяя в полученной формуле , получим скорость третьего шара:

.

:..Умеющие находить экстремумы функций с помощью производных легко справятся сами, а для неумеющих мы применим следующий хитрый прием:

.

:..Для того, чтобы дробь имела наибольшее значение, необходимо, чтобы знаменатель был минимальным, то есть минимум должна иметь величина

:..Но, как известно, среднее арифметическое двух положительных величин всегда не меньше среднего геометрического этих же величин:

:..Причем, как легко видеть, при , то есть масса m₂ промежуточного шара должна быть средним: геометрическим масс двух крайних шаров.

:..Итак, с задачей Мещерского мы справились успешно и сейчас рассмотрим следующую. Пусть имеются три шара с радиусами r₁, r₂, r₃. Первый шар заряжен, а вторые два - нет. Первый шар приведем в соприкосновение со вторым, в результате чего часть заряда первого шара перейдет на второй. Затем второй шар приводим в соприкосновение с третьим. Спрашивается: каков должен быть радиус второго шара, чтобы заряд, переданный третьему шару, был максимальным? Вы уже догадались, к чему я клоню? Именно так! Радиус промежуточного шара должен быть средним геометрическим радиусов крайних шаров:

:..Покажем, что это действительно так.

Из закона сохранения энергии следует, что заряды q₁, q₂ первых двух шаров после кратковременного контакта в сумме равны начальному заряду q первого шара:

q = q₁ + q₂

:..Перераспределение зарядов между шарами продолжается до тех пор, пока они не приобретут равные потенциалы:

,

где C₁, C₂ - емкости шаров, равные (в системе СИ):

.

:..Аналогично после соприкосновения второго и третьего шаров заряд на третьем шаре равен:

,

.

:..Итак, физика предстает перед нами в несколько неожиданном свете. Р. Фейнман в V томе своих "Лекций по физике" посвятил отдельную главу удивительной схожести законов физики, назвав ее "Электростатические аналогии". В ней он, в частности, пишет: "Имеется замечательнейшее совпадение: уравнения для самых разных физических условий часто имеют в точности одинаковый вид. Использованные символы, конечно, могут быть разными - вместо одной буквы стоит другая, но математическая форма уравнений одна и та же. Это значит, что, изучив одну область, мы сразу получаем множество прямых и точных сведений о решениях уравнений для другой области". Одинаковыми оказываются задачи с постоянным потоком тепла и задачи электростатики. К этому же классу относятся задачи, связанные с диффузией ионов в однородном газе, диффузией нейтронов в веществе, ионов в жидкости или электронов через полупроводник. Явления безвихревого течения жидкости тоже оказываются аналогичными задачам электростатики. Такое единство природы воодушевляет и вдохновляет на подвиги. Но, внимание! При использовании Изумрудной Скрижали, то есть метода аналогии, надо быть чрезвычайно осторожными. Природа, как уже говорилось, подобна самой себе, но далеко не зеркальна в своих отражениях. Разберем, например, одно из напрашивающихся после всего сказанного "великих открытий".