p7

". -.Ого!.Вот.это.здоровая.волна!. -.

сказал.Джакс,.покачнувшись.так,.

что.коснулся.рукой.пола".

Джозеф.Конрад.."Тайфун".

МАЯТНИКИ, БУТЫЛКИ И НЕМНОГО ФАНТАСТИКИ

:..Поистине удивительно многообразие колебательных процессов в нашей Вселенной. Волны морские, акустические, электромагнитные, гравитационные, сейсмические, продольные, поперечные, плазменные, волны в биосистемах. Колеблются мосты, здания, вибрируют корпуса кораблей, самолетов, дрожат стекла в окнах, резонируя на звук проезжающего автомобиля. Нет возможности даже просто перечислить все известные волновые процессы. В одной только плазме существуют сотни различных типов колебаний. В этой главе мы лишь попробуем научиться видеть поразительную схожесть всех колебательных процессов, называемых гармоническими, и определять на основе этой общности частоты колебаний интересующих нас систем. Для начала определим, что такое гармоническое колебание. Если мы вывели способное колебаться тело из положения равновесия на небольшое расстояние х, и оно, стремясь вернуться назад, сопротивляется с силой f = - kx, то колебания тела, если его отпустить, называются гармоническими. Здесь k - жесткость системы, коэффициент, с которым мы уже знакомы. Сила -kx вызывает у тела ускорение

.

Если вы умеете дифференцировать, то есть брать производные, то знаете, наверное, что а = х" - вторая производная координаты х по времени. И уравнение гармонических колебаний принимает вид:

,

где

Если же вы не умеете обращаться с производными, то обратите внимание на размерность величины . Она оказывается равной

,

то есть размерности частоты колебаний. Так оно и оказывается на самом деле. Величина играет роль циклической частоты. Истинная частота при этом:

.

Знающие же элементы высшей математики легко могут проверить, что решениями уравнения гармонических колебаний являются функции или и их произвольная линейная комбинация. То есть функции, как раз и описывающие гармонический колебательный процесс. Полученное нами уравнение является достаточно общим. Итак. Если вы сумеете показать, что в вашем конкретном случае колебания совершаются под действием силы f = -kx, да еще и найти, как выражается k через параметры вашей системы, то будьте уверены: ваши колебания - гармонические, а их частота равна . Но давайте рассмотрим возможности этого утверждения на примерах.

Колебания математического маятника

"Взмахи маятника шли

под прямым углом к моему

телу. Я понял, что серп

рассечет меня в том

месте, где сердце".

Э. По. "Колодец и маятник".

Маятник, представляющий собой нить длиной l с точечным телом массой m на конце, отклонен на небольшой угол ? . Легко видеть, что возвращающая маятник в положение равновесия сила равна

,

Полученное выражение для силы f действительно имеет вид kx, причем роль жесткости k играет величина mg/l. Поэтому все сразу становится ясным: наши колебания - гармонические и их частота равна

.

Период колебаний при этом:

.

:.

знаменитая формула Гюйгенса. А что если угол ? не мал? Тогда ситуация резко усложняется, и колебания маятника перестают быть гармоническими.

Колебания бутылки в воде

"- Как? - воскликнул Гленарван.

- У акулы в желудке оказалась бутылка?

- Самая настоящая, сэр,

- ответил боцман".

Ж. Верн.

"Дети капитана Гранта".

Бутылка, плавающая в воде, будет колебаться, если ее легонько погрузить в воду и отпустить. Пусть бутылка погрузилась на величину х, являющуюся отклонением бутылки от положения равновесия. При этом на бутылку начнет действовать дополнительная Архимедова сила, стремящаяся вернуть ее в положение равновесия и равная весу вытесненной воды:

,

где ? - плотность воды, а

S - поперечное сечение бутылки.

Роль жесткости системы "вода-бутылка" играет величина k = ?gS. При этом частота колебаний

,

где m - масса бутылки. Ради интереса вы можете самостоятельно прикинуть, каковы параметры бутылки и оценить частоту ее колебаний.

Фантастическая задача

"Однако, учитывая массу

Земли и энергию ее вращения,

можно ли вообразить

огнестрельное орудие такой

величины, чтобы отдача

была в состоянии сместить

полюс, и притом на 23? 28' ?"

Ж. Верн.

"Вверх дном".

:..Физики (особенно теоретики) любят выдумывать практически неосуществимые, но полезные для выяснения сути какого-нибудь явления задачи. Одну из таких забавных задачек мы здесь и рассмотрим. Не дай Бог нам такого, но пусть земной шар просверлен по диаметру так, что образовалась сквозная шахта. Столкнем в эту шахту камень и посмотрим, как он будет себя вести. Нетрудно догадаться, что камень будет совершать периодические колебания в шахте, постепенно затухающие, если она наполнена воздухом. Но затуханием колебаний мы везде для простоты дела в дальнейшем будем пренебрегать. Если камень находится на расстоянии х от центра, то самое интересное в этой задаче, пожалуй, то, что камень будет ощущать на себе гравитационное притяжение со стороны лишь части земного шара радиусом х! Ну а куда же подевалось поле тяготения со стороны сферического слоя над шаром радиуса х? Попробуйте доказать самостоятельно, что этот сферический слой, внутри которого находится наш камень, не будет оказывать на него никакого влияния. Таким образом, наш камень в шахте ощущает на себе силу

.

где m - масса камня,

- масса шара радиуса со средней плотностью вещества планеты ?.

:..Окончательно

,

:::::::::::.. ProfessorR.gif (1744 bytes)

и наша сила опять имеет вид kх, где

:..При этом частота колебаний камня

..

.

:..Период же колебаний Т, оказывается, будет около 2,5 часа. (Проверьте это численным расчетом!)

Колебания пузырька воздуха в воде.

"Исчезая, пузырек не

превращается в ничто -

он соединяется с общим

потоком. Научиться

чувствовать себя всегда

частью потока, несмотря

на всю свою индивидуальную

неповторимость, - вот

обязательное условие мудрости!"

И. А. Ефремов.

"Лезвие бритвы".

:..Мы уже упоминали о том, что пузырек в воде может колебаться, как маленькая упругая пружинка, но характер его колебаний может быть очень сложным. И подобраться к точным выражениям для частот его колебаний не так-то просто. Но мы можем сделать вот что: давайте поищем претендентов на роль жесткости k и масс m для пузырька, допустив, что его колебания малы по амплитуде и поэтому, скорее всего, будут гармоническими. Почему пузырек, деформируясь в процессе колебаний, восстанавливает свою сферическую форму? Можно предположить, что здесь играет роль поверхностное натяжение. Кроме того, размерность коэффициента поверхностного натяжения ?, на удивление, совпадает с размерностью коэффициента k : [k] = [?] = ?/?. ?от вам и достойный претендент. А что взять в качестве массы m? Масса воздуха в пузырьке? Она очень мала. Зато, колеблясь, пузырек расталкивает воду вокруг себя, и, двигаясь, вода обладает при этом запасом энергии. Поэтому ориентировочно возьмем в качестве m массу воды, вытесненную пузырьком:

.

.

где ? - плотность воды, а

R - радиус пузырька.

Для частоты тогда получим:

.

.

:..Строгий расчет показывает, что наша формула не так уж плоха и ею вполне можно пользоваться для приближенной оценки частоты колебаний пузырька. Пузырек может колебаться и не меняя своей сферической формы, а меняя лишь объем. При этом роль k будет играть, видимо, давление. Размерность давления, однако?

::::::::.[р] = н/м².

:..А нам нужно иметь н/м. Давайте домножим давление на радиус пузырька. Размерность при этом будет как раз та, которая нужна: [pR] = н/м. Для частоты при этом получим:

:::::::.

.

:..И опять мы не очень ошиблись, как показывает сравнение с точной формулой. Интересно, что помимо метода аналогии мы воспользовались здесь и соображениями размерности. Нельзя было на роль k выбирать или, скажем, радиус пузырька R - у них размерности совершенно неподходящие. Итак, пузырек воздуха в воде может совершать колебания двух типов. А сейчас хотите попробовать свои силы? Используя полученные выше знания, выведите формулу для частоты плазменных колебаний. Плазма - ионизованное состояние вещества, смесь тяжелых (по отношению к электронам) ионов и электронов. Сместившись относительно ионов, электроны испытывают на себе силу кулоновского притяжения, возвращающую их в равновесное положение, и начинают колебаться. Представьте себе, что в единице объема находится n электронов с зарядом e и массой m. В начальном положении все электроны и ионы смещены относительно друг друга, как пластины конденсатора, на расстояние x. Суммарный заряд всех электронов равен по абсолютной величине суммарному заряду всех положительных ионов, то есть система в целом электронейтральна. Считая ионы неподвижными (они тяжелые), покажите, что сила, действующая на отдельный электрон, имеет вид

::::::: f = - kx,

:::::::где k = ne².

:..При этом для плазменной частоты вы получите знаменитое выражение:

:::::::.

:..Если у вас это получится, можете проникнуться к себе некоторой долей уважения - чему-то вы уже научились! Теперь вы видите, как удивительно практичен древний принцип Гермеса? Далее вы убедитесь в том, что мощь его неисчерпаема.