:..Знакомо ли вам число Непера е = 2,718281828 ? Математически это число представляет собой предел следующего выражения:

:..Число Непера играет чрезвычайно важную роль как в математике, так и в ее приложениях к физике. Особенно - функция y = e^x. Эта функция совершенно нечувствительна к операциях дифференцирования и интегрирования. Она просто не меняет при этом свой вид. По этому поводу существует даже забавный анекдот про сумасшедшего математика, который держал в страхе всех своих собратьев по несчастью, заявляя им, что в случае неповиновения он их продифференцирует или проинтегрирует. Многие пугались и слушались. Пока, наконец, в больнице не появился новенький, который на диктат "математика" не реагировал, а на угрозу быть продифференцированным, заявил: "А я не боюсь, я - e^x!" Во многих физических процессах прослеживается одна и та же интересная закономерность. Нарастание или уменьшение какой-либо физической характеристики происходит по закону e^x или e^-?x, где ? - некоторая постоянная. Рассмотрим несколько примеров.

:..Атомные ядра, состоящие из более мелких частиц - протонов и нейтронов, могут претерпевать различные превращения, распадаясь на два или более ядер. Происходит ядерная реакция. Если такой процесс происходит с ядрами только под влиянием извне переданной им энергии, то такие реакции называются индуцированными, а сами ядра - стабильными. Но существуют и нестабильные ядра, которые могут распадаться сами по себе. Как говорят, "спонтанно". Такой процесс называют радиоактивным распадом. При этом ядра данного типа превращаются в ядра другого типа, которые могут оказаться как стабильными, так и нестабильными. Нестабильные ядра, "как бы поражены, какой-то таинственной "болезнью", и все она обречены на гибель - одни раньше, другие позже". (Г. Линдер). Радиоактивному распаду сопутствуют три типа излучений: ?, ? и ?. ? - частицы представляют собой двукратно ионизованный атом гелия - Не⁺⁺, ? - частицы - поток электронов и ?-излучение - поток фотонов. Время, за которое распадается половина ядер радиоактивного вещества, принято называть периодом полураспада и обозначать буквой Т (или ?). Величины периодов полураспада для различных элементов варьируются в самых широких пределах: от менее, чем 10^-13 с, до более, чем 10¹⁰ лет. Число ядер dN, распадающихся за время dt, пропорционально общему числу ядер, имеющихся в данный момент. Исходя из этого факта, можно написать:

где знак "минус" появляется потому, что dN < 0, а ? называют постоянной распада. Обе части полученного уравнения можно проинтегрировать и получить N как функцию времени:

где N₀- число ядер в начальный момент времени t = 0 : N₀ = N(0). Полученная зависимость находится в полном согласии с экспериментом и называется законом радиоактивного распада. А сейчас рассмотрим другую задачу.

:..Свет, проходя через толстое стекло, уменьшает свою интенсивность - поглощается веществом стекла. Причем чем толще стекло, тем больше будет поглощение. Процесс выбывания фотонов из светового пучка похож на распад ядер, только на сей раз число выбывших из пучка фотонов dN (за счет поглощения) пропорционален толщине слоя вещества dx и полному числу фотонов в данной точке:

:..Полученное уравнение аналогично уравнению для распада ядер. Поэтому

:..Здесь, как и в случае с ядрами, мы имеем экспоненциальную зависимость N от х (выражение e^x иногда называют "экспонентой" и записывают так: ехр х ). По такому же закону поглощается и звуковая волна, распространяющаяся в среде.

:..Молекулы окружающего нас воздуха находятся в непрерывном движении. Толчея стоит невообразимая. В 1 см³ воздуха при 0° С и давлении 1 атмосфера находится N_l = 2,7·10¹⁹ частиц (число Лошмидта). Каждую секунду молекула совершает около 10 миллиардов столкновений с другими молекулами. В результате таких столкновений некоторые молекула увеличивают свою скорость, а другие уменьшают ее. В среднем: для данной температуры газа число молекул, имеющих скорость, например, v  = 10³ м/с, окажется постоянным. Число молекул, имеющих скорость v  = 2·10³ м/с, будет уже другим, но тоже в среднем постоянным. Таким образом, в газе устанавливается некоторое распределение молекул по скоростям. Плотность атмосферы нашей планеты падает с высотой. И это неудивительно. Кинетической энергии у большей части молекул уже не хватает для того, чтобы добраться до большой высоты, и лишь отдельные "быстрые" экземпляры в состоянии это сделать. Строгий расчет показывает, что число молекул ? в единице объема на высоте h равно:

где ?₀ - плотность молекул у поверхности Земли, k = 1,38·10²³  Дж/К.

:..Если учесть, что величина mgh, стоящая в показателе степени последнего выражения, представляет собой потенциальную энергию молекулы и черпается из ее кинетической энергии у поверхности Земли, то нетрудно догадаться, что распределение молекул по скоростям должно иметь вид:

где ?? - число молекул, имеющих скорость v. Такому же по виду распределению по энергиям подчиняются и электроны в металлах при высоких температурах. Более того, существует специальное понятие "электронный газ", которое оказывается очень полезным при описании многих свойств металлов и полупроводников. В такой модели электроны рассматриваются как свободно движущиеся и не взаимодействующие между собой частицы. Не следует думать, однако, что, изучив законы Бойля - Мариотта и Шарля, вы сможете так же лихо оперировать с электронами, как и с идеальным газом. Дело обстоит гораздо сложнее, и, наряду с определенным сходством с поведением молекул идеального газа, электроны обладают своими индивидуальными особенностями квантового характера. В приведенных выше примерах радиоактивного распада, поглощения света и распределения молекул по высоте и скоростям при наличии поразительного сходства есть и радикальные отличия. Да иначе и быть не может. Ведь речь идет о совершенно разных физических явлениях. Завершая нашу короткую информацию об экспонентах и связанных с ними явлениях, упомянем еще, что по такому же закону падает амплитуда колебаний в том случае, когда на колеблющееся тело действует сила трения, имеющая вид f = - ? v, где v - скорость тела, ? - коэффициент затухания. Если затухание не слишком велико, то колебания происходят по закону:

.

:

:..Примеров физических процессов, в которых присутствует экспоненциальная зависимость, можно привести необозримое множество, причем из совершенно различных областей физики. Существуют, кстати, и процессы, например колебательные, где амплитуда может экспоненциально нарастать по закону . Ясно, что в этой ситуации волна усиливается, и для такого усиления волне приходится откуда-то черпать свою энергию (например, из энергии других волн). Остается только удивляться колоссальному многообразию явлений, которые тем не менее связаны между собой некими таинственными родственными узами. "Вся ценность науки в том и состоит, что она дает нам возможность применять к Неизвестному предмету знания, приобретенные нами на других подобных предметах, и, таким образом, мы можем извлекать пользу из наших наблюдений только настолько, насколько можем открывать и собирать сходствам. " Стенли Джевонс.

:..В заключение скажем, что Закон радиоактивного распада интереснейшим образом используется для датировки исторических событий. Дело в том, что на распады радиоактивных ядер не оказывают никакого влияния физические и химические условия, в которых они находятся. Все растения и живые организмы усваивают из атмосферы какую-то часть углекислого газа. Часть составляющего его углерода - радиоактивный углерод C¹⁴ . После гибели растения или организма углерод C¹⁴перестает в него поступать. А накопленный в тканях останков углерод распадается. Измеряя относительные количества изотопа углерода в археологических находках, мы имеем очень точный метод их датировки. Для проверки метода сравнивались известные возрасты исторических предметов с возрастом, вычисленным с помощью датировки изотопом C¹⁴. Вот два примера. Кипарисовая балка из гробницы фараона Снеферу: известный возраст - 4575+75 (лет), возраст по датировке - 4883+20 (лет).

:..Дерево палубы погребального ковчега из гробницы фараона Сезостриса: известный возраст - 3750 (лет), возраст по датировке - 3621+180 (лет).