- Считай!
Гаф! - ответил Лобзик. 
Неправильно! Ты говороишь - 
один, а тут два. Что надо ответить? 
- Гаф! - снова ответил Лобзик.
"Гаф!" - передразнил его Костя.
- Где тут "гаф!", когда тут 
"гаф-гаф"? У тебя на плечах что:
 голова или кочан капусты?".

Н. Носов.

"Витя Малеев в школе и дома".

ФУНКЦИИ-БЛИЗНЕЦЫ И ЗОЛОТАЯ ПРОПОРЦИЯ

:..До сих пор мы обсуждали Изумрудную Скрижаль Гермеса, опираясь только на знания современной физики. А как обстоит дело в других областях знания? Разумеется, аналогичным образом, ибо принцип подобия Гермеса касается всего нашего мироздания. Заглянем, для примера, во владения математики - великой и загадочной науки, которая умудряется, тасуя на бумаге по определенным законам нами же придуманные значки и символы, делать серьезнейшие предсказания о характере поведения множества природных объектов и процессов. Обладая своей внутренней логикой развития, математика не нуждается в экспериментальных подтверждениях и физических или иных приложениях своих выводов. Так было с неэвклидовой геометрией, выводы которой нашли свое место значительно позднее в общей теории относительности Эйнштейна, так происходило с комплексными числами, с теорией групп и многими другими разделами математики, которые понадобились исследователям для конкретных целей много позже времени их рождения на свет. Человеку, окончившему среднюю школу, хорошо знакомы тригонометрические функции sin x, cos x, tg х и ctg x, a также формулы, по которым эти функции трансформируются друг в друга. Приведем здесь несколько таких формул преобразования тригонометрических функций (хотя их значительно больше):

:..А вот человек с высшим техническим образованием знает уже несколько больше и может рассказать вам о целом классе математических функций, удивительным образом напоминающем функции тригонометрические. Называют их гиперболическими функциями. Для их построения используется уже знакомая нам функция (помните математика в сумасшедшем доме?). В этом классе функций косинус гиперболический определяется и обозначается так:

,

синус гиперболический:

./

:

:..Гиперболические тангенс и котангенс определяются по аналогии с тангенсом и котангенсом тригонометрическими:

:..Формулы преобразования гиперболических функций, за редким исключением в знаках, совпадают с формулами преобразования тригонометрических функций. Приведем здесь несколько формул, соответствующих группе выражений для тригонометрических преобразований:

sh (х + у) = sh х ch у + ch x sh у,

2 sh х ch у = sh (х + у) + sh (x - у).

:..Надо сказать, что такое сходство вовсе не случайно, ибо великий математик Эйлер установил связь между экспонентой и тригонометрическими функциями посредством совсем уж странного "числа"

называемого "мнимой единицей" . Связь эта выражается знаменитой формулой Эйлера:

которая широко используется при решении многих задач физики и техники.

Используя формулу Эйлера, нетрудно показать, например, что

.

:::::::::::::::::::::

Таким образом, благодаря Эйлеру, мы понимаем причины схожести тригонометрических и гиперболических функций. К сожалению, в большинстве из описанных в этой книге случаев подобия мы такого ключа, разъясняющего нам суть аналогии, не имеем. Есть в математике и еще классы подобных функций, но они слишком сложны для того, чтобы приводить их здесь. Касаясь еще раз формулы Эйлера, хочется сказать вот о чём: человек, далекий от физики и математики, воспринимает в качестве необыкновенного и интересного сведения о пирамидах, Атлантиде, Шамбале - таинственной и невидимой стране. Его можно потрясти информацией о зомби, летающих йогах, но попробуйте удивить его каким-нибудь математическим выражением - вряд ли вам это удастся. Тем не менее, как вы уже имели возможность убедиться, именно за многими формулами скрывается загадочная суть нашего бытия. Напомню, что число Непера есть  предел:

.

:..Возьмите число ? (отношение длины окружности к ее диаметру) , умножьте его на явно ненормальное с житейской точки зрения комплексное число и разделите на пять. Затем число Непера возведите в эту степень и сложите с числом Непера в той же степени, но со знаком минус, то есть

.

:..Знаете, что вы получили? Золотую пропорцию! Формулу Красоты!

:..Смысл ее заключается в том, что для гармоничного восприятия двух частей чего-то одна часть целого должна так относиться к другой, как целое к большей части. Золотая пропорция прослеживается во многих произведениях искусства, в живых организмах, химии, ботанике, геологии, астрономии, архитектуре, живописи и т. д. Таинственное число использовалось древними египтянам при создании пирамиды Хеопса, Цилиндров Фараона и многих памятников древнего зодчества. Вот вам и каббалистика чисел.

Современная физика предоставляет нам возможность убедиться в том, насколько  глубоко золотая пропорция пронизывает все законы мироздания. Так в ведущем Российском физическом журнале "Успехи физических наук (УФН)" (т.170, № 11, 2000 г.) В.В.Попковым и Е.В.Шипицыным опубликована статья, констатирующая присутствие золотого сечения в цикле Карно.  Авторы показали, что при одинаковой эффективности идеальных тепловой и холодильной машин, коэффициент их полезного действия равен золотой прорции, то есть числу 1,618! Этими же авторами проанализированы категория двойственности и золотое сечение в физике твердого тела.

Что за тайна кроется в золотой пропорции? Мы не знаем. Но есть ощущение, что за ней стоит некий универсальный закон природы, определяющий гармонию организации всего сущего. Говоря о математике, хочется вспомнить об одной исторической загадке, тайна которой не раскрыта до сих пор, и не видно даже намека на то, что она может быть разгадана в обозримом будущем.